domingo, 24 de mayo de 2015

Referencias

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Unidad 1

Unidad 2

Unidad 3

Unidad 4

Unidad 5

Libro: Matemáticas para administración y economía; Ernest F. Haeussler, Jr y Richard S.P

Esta Unidad trato sobre las aplicaciones de la derivada.
Las aplicaciones de la derivada nos sirven para optimizar situaciones económico-administrativas,
fue muy interesante para mi como al final del semestre todos los temas se unieron y se formo una sinergia de trabajo, es decir, como las funciones son utilizadas y como las derivadas de las funciones son utilizadas en los máximos, mínimos y todo esto para observar los patrones de las gráficas, esta unidad fue sumamente interesante e importante para mi, ya que logre darme cuenta de lo util que me va a ser el aprendizaje adquirido.
Muchas Gracias.

5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

Unidad V. Aplicaciones de la derivada.
5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

Elasticidad de la demanda

La elasticidad puntual de la demanda es un número que mide cómo la demanda del consumidor es afectada por el cambio en el precio. Está dada por

donde p es el precio por unidad al que se demandan q unidades. Las tres categorías de elasticidad son:

Dicho de manera sencilla, para un cambio porcentual dado en el precio, habrá un cambio porcentual mayor en la cantidad demandada, si la demanda es elástica, un cambio porcentual menor si la demanda es inelástica y un cambio porcentual igual si la demanda tiene elasticidad unitaria.

La relación entre elasticidad y la razón de cambio del ingreso está dada por

El método de Newton es el nombre dado a fórmula siguiente, que se usa para estimar las raíces la ecuación f(x) = 0, siempre que f sea diferenciable

Elasticidad del ingreso

La elasticidad ingreso de la demanda , llamada a veces elasticidad demanda-renta, mide cómo afectan las variaciones de la renta o ingresos de los consumidores a la cantidad demandada de un bien. El coeficiente de elasticidad ingreso de la demanda e I se calcula dividiendo la variación porcentual de la demanda por la variación porcentual de la renta.

De acuerdo al valor de e I , los bienes se pueden clasificar como:

• Bienes normales : Son aquellos cuyo coeficiente de elasticidad ingreso es positivo. Esto significa que cuando aumentan los ingresos del consumidor, la demanda de los bienes normales también aumenta. Pueden ser:

• Bienes de lujo: Su coeficiente de elasticidad ingreso es mayor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción mayor.

• Bienes básicos: Su coeficiente de elasticidad ingreso es positivo y menor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción menor.

• Bienes inferiores : Su coeficiente de elasticidad ingreso es negativo. Por tanto, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda de estos bienes disminuye porque el consumidor puede optar por otros productos de mayor calidad.

Debido a la variabilidad de la elasticidad ingreso, un bien puede ser de lujo a niveles bajos de ingreso y un bien inferior a niveles altos de ingreso.

5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

Unidad V. Aplicaciones de la derivada.
5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

Maximización de funciones de ingreso

La maximización de utilidades es la piedra angular del análisis económico y es crucial para la operación de cualquier negocio hoy en día. El problema principal es calcular la cantidad correcta de bienes para producir al precio adecuado dadas ciertas condiciones en el mercado. La técnica de optimización del cálculo permite hacer lo anterior de manera muy sencilla.

Instrucciones

Define la función de la utilidad

1

Escribe la función de la utilidad y la restricción presupuestaria. La función de utilidad, U(x,y) es una función con respecto a dos bienes, 'x' y 'y'. El propósito de la maximización de utilidades es calcular cuánto de cada uno de estos bienes debe comprarse.
2

Escribe la restricción presupuestaria. Esta es la cantidad que costará comprar 'x' y 'y', por lo que depende de los precios Px y Py. Una restricción presupuestaria típica se verá como Px * x + Py * y ≤ I, en donde I son tus ingresos. En otras palabras, la restricción presupuestaria es el precio de 'x' veces la cantidad de 'x' sumado al precio de 'y' veces la cantidad de 'y', que no puede ser mayor a tus ingresos totales.

3

Combina las dos ecuaciones para formar la expresión de Lagrange, que puede ser escrita como L = U(x,y) + λ[I - Px*x - Py*y], en donde λ es llamado el multiplicador de Lagrange. Todos los pasos del cálculo serán realizados en la función de Lagrange.

Obtener las derivadas

1

Obtén las derivadas de la función de Lagrange con respecto a 'x' e iguala la ecuación resultante a 0. Esto dará como resultado dL/dx = MUx - λ * Px = 0. En este caso MUx es la "utilidad marginal con respecto a 'x'", que es lo mismo que la derivada de U(x,y) con respecto a 'x'.
2

Obtén la derivada de la función de Lagrange con respecto a 'y' e iguala la ecuación resultante a 0. Esto te dará como resultado dL/dy = MUy - λ * Py = 0. En este caso MUy es la "utilidad marginal con respecto a 'y'", que es lo mismo que la derivada de U(x,y) con respecto a 'y'.
3

Obtén la derivada de la función de Lagrange con respecto a λ e iguala la ecuación resultante a 0. Esto dará como resultado I - Px * x - Py * y = 0, que es justamente la restricción presupuestaria.

Resuelve el sistema de ecuaciones

1

Resuelve para 'x' como función de 'y'. Esto puede lograrse escribiendo MUx = λ * Px y MUy = λ * Py, que puede derivarse fácilmente de la parte anterior. Dividiendo y cancelando las λs obtienes como resultado MUx/MUy = Px/Py. El valor del lado izquierdo es la tasa marginal de sustitución, y el valor del lado derecho es la pendiente de la curva de indiferencia. Dependiendo de la función de utilidad particular dada en este problema, usa estos valores para escribir x = f(x).
2

Sustituye x = f(y) en la restricción presupuestaria. Esto dará como resultado I - Px * f(y) - Py * y = 0. Dado que esta es una ecuación solamente en 'y', resuelve para 'y'.
3

Finalmente resuelve para 'x' usando el valor de 'y' que calculaste. Esto te da la ecuación I - Px * x - Py * y. Dado que Px, Py, y 'y' son valores conocidos, resuelve para 'x'. Los valores de 'x' y 'y' que has calculado son los valores maximizados de utilidad para los dos bienes.

Utilidad y beneficios

El beneficio económico (también denominado utilidades) es un término utilizado para designar la ganancia que se obtiene de un proceso o actividad económica. Es más bien impreciso, dado que incluye el resultado positivo de esas actividades medido tanto en forma material o "real" como monetaria o nominal. (Ver más abajo). Consecuentemente, algunos diferencian entre beneficios y ganancia.

Desde un punto de vista general el beneficio económico es un indicador de la creación de riqueza o generación de mercaderías o valor en la economía de una nación. Eso no es siempre el caso para los individuos (ver más abajo).

El beneficio generalmente se calcula como los ingresos totales menos los costes totales de producción y distribución.

Minimización de funciones de costos y costos promedio.

Actividad Interactiva

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

Unidad V. Aplicaciones de la derivada.
5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

Concavidad y puntos de inflexión

La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

	Definición de concavidad
	Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$ , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada

la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo

y cóncava hacia abajo en el intervalo

	Teorema 5
	Si f es una función tal que cuando $x \in ]a,b[$ , entonces la gráfica de fes cóncava hacia arriba sobre . Demostración: Si y como $f''(x)= D_{x}f'(x)$ , entonces se tiene que es creciente sobre por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre .

	Teorema 6
	Si f es una función tal que cuando $x \in ]a,b[$ , entonces la gráfica de fes cóncava hacia abajo sobre . Demostración: De la hipótesis: , y como $f''(x)_{x}=D_{x}f'(x)$ , se obtiene que es decreciente sobre por lo que según la definición dada sobre concavidad, la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre .

Punto de inflexión

f presenta un punto de inflexión en x=a si existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) (o viceversa: f menor a la izquierda y mayor a la derecha).

		En el semientorno izquierdo de a, f está por encima de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por debajo de la tangente.

Actividad Interactiva		En el semientorno izquierdo de a, f está por debajo de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por encima de la tangente.

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Unidad V. Aplicaciones de la derivada
5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico

c

Teorema valor máximo y mínimo

"Sea $c$ un punto crítico de una función $f$ que es continua en un intervalo abierto $I$ que contiene a $c$ . Si $f$ es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en $c$ , entonces $f(c)$ puede clasificarse como sigue."

1. Si

f

(x)

cambia de positiva a negativa en

c

, entonces

f

tiene un máximo relativo en

(c, f(c))

2. Si

f

(x)

cambia de negativa a positiva en

c

, entonces

f

tiene un mínimo relativo en

(c, f(c))

3. Si

f

(x)

es positiva en ambos lados de

c

o negativa en ambos lados de c, entonces

f(c)

no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.

A continuación una guía para construir la gráfica de una función usando la derivada:

1) Halla f’(x) (la derivada de f).

2) Halla los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida).

3) Evalua cada número crítico c en la función f para obtener los puntos críticos.

4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior (3) en el plano cartesiano.

5) Determina en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema).

6) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.

Tema: Valores Extremos (Máximos y Mínimos Absolutos)

Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En este caso, f(c) se conoce como un valor máximo (o máximo absoluto) de f.

Si f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica.

Análogamente, si existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)<f(x) para todo x en el intervalo [a,b], entonces f(c) es un valor mínimo (o mínimo absoluto) de f.

Si f(c) es el mínimo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su mínimo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más bajo de la gráfica.

A los valores máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se les conoce como valores extremos o extremos de la función en el intervalo.

MATEMATICAS I