1.8 Función exponencial y logarítmica.

Unidad I. Funciones.
1.8 Función exponencial y logarítmica.

Función exponencial

Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

Función exponencial, según el valor de la base.

Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = a^x, se cumplen las siguientes propiedades generales:

• La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:
  f (0) = a⁰ = 1.
• La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:
  f (1) = a¹ = a.
• La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.
  f (x + x?) = a^x+x? = a^x × a^x? = f (x) × f (x?).
• La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:
  f (x - x?) = a^x-x? = a^x/a^x? = f (x)/f (x?).

La función e^x

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = e^x. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:

(1 + 1/n)ⁿ

cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos (ver t34).

La función e^x presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada 

Función logarítmica

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

log_a x = b Û a^b = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).

Propiedades de la función logarítmica

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

• La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
• Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
• En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log_a 1 = 0, en cualquier base.
• La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
• Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = a^x, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que: