MATEMATICAS I : 4.3 Diferenciación implícita.

Unidad IV. Tópicos complementarios de diferenciación.
4.3 Diferenciación implícita.

Diferenciación implícita.

Recordemos que si $y=f(x)$ es una función desconocida de $x$ que suponemos derivable, entonces podemos derivar $y^n$ implícitamente utilizando la regla de la cadena

$\dfrac{d}{dx}y^n=ny^{n-1}\dfrac{dy}{dx}$ ,

y en caso de tener que derivar expresiones del tipo $\dfrac{x^2y^3}{x+y^2}$ , con respecto de $x$ , las reglas de derivación (de un producto, cociente, etc.) se siguen aplicando.

Veamos dos ejemplos más donde apliquemos diferenciación implícita

Encuentra las rectas tangentes y normal a la curva en el punto dado para

1. $\left(x^2+y^2\right)^2=(x-y)^2$ en $(-2,1)$

2. $x\text{sen}2y=y\text{cos}2x$ en $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$

Entonces, derivando ambos lados de la expresión 1 con respecto a $x$

$\dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)^2=\dfrac{d}{dx}(x-y)^2$

$2\left(x^2+y^2\right)\dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)=2(x-y)\dfrac{d}{dx}(x-y)$

$2\left(x^2+y^2\right)\left(2x+2y\dfrac{dy}{dx}\right)=2(x-y)\left(1-\dfrac{dy}{dx}\right)$

Simplificando y agrupando términos

$2x\left(x^2+y^2\right)+2y\left(x^2+y^2\right)\dfrac{dy}{dx}=x-y-(x-y)\dfrac{dy}{dx}$

$\left(2yx^2+2y^3+x-y\right)\dfrac{dy}{dx}=x-y-2x^3-2xy^2$

de donde obtenemos

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x-y-2x^3-2xy^2}{2yx^2+2y^3+x-y}$

Evaluando la derivada en el punto dado obtenemos la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

$\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(-2,1)}=\dfrac{-2-1-2(-2)^3-2(-2)(1)^2}{2(1)(-2)^2+2(1)^3-2-1}=\dfrac{17}{7}$

Sustituyendo la pendiente y el punto en la forma punto pendiente de la ecuación de una recta se obtiene la ecuación de la recta tangente en el punto

$y-1=\dfrac{17}{7}(x+2)$

que podemos reescribir como $17x-7y+41=0$

Para encontrar la pendiente de la recta ortonormal utilizamos el hecho de que dos rectas con pendientes $m_1$ y $m_2$ son perpendiculares si $m_1=-\dfrac{1}{m_2}$ Entonces la pendiente de la recta normal es $m=-\dfrac{7}{17}$ y