MATEMATICAS I : 5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

Unidad V. Aplicaciones de la derivada.
5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).

De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Extremos relativos o locales

Sea

f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}

, sea

x_0 \in A

y sea

P=\,(x_0, f(x_0))

un punto perteneciente a la función.

Se dice que

P

es un máximo local de

f

si existe un entorno reducido de centro

x_0

, en símbolos

{E'(x_0)}

, donde para todo elemento

x

{E'(x_0)}

se cumple

f(x) \le f(x_0)

. Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse

f(x) < f(x_0)

Análogamente se dice que el punto

P

es un mínimo local de

f

si existe un entorno reducido de centro

x_0

, en símbolos

{E'(x_0)}

, donde para todo elemento

x

{E'(x_0)}

se cumple

f(x) \ge f(x_0)

Extremos absolutos

Sea

f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R}

, sea

x_0 \in A

y sea

P=\,(x_0, f(x_0))

un punto perteneciente a la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de

x_0

pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de

x_0

. Esto es:

P\,(x_0, f(x_0))

máximo absoluto de

f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x)

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de

x_0

perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de

x_0

. Esto es:

P\,(x_0, f(x_0))

mínimo absoluto de

f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x)

Cálculo de extremos locales

Dada una función suficientemente diferenciable

f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}

, definida en un intervalo abierto de

\mathbb {R}

, el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:

Se halla la primera derivada de $f \rightarrow f'(x)$
Se halla la segunda derivada de $f \rightarrow f''(x)$
Se iguala la primera derivada a 0: $f'(x) = 0\,$
Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: $X = \big\{x_1, x_2,..., x_n | f'(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$ .
Se halla la imagen de cada $x_i\,$ sustituyendo la variable independiente en la función.
Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada $x_i\,$ :

Si $f''(x_i) < 0\,$ , se tiene un máximo en el punto $M(x_i, f(x_i))\,$ .
Si $f''(x_i) > 0\,$ , se tiene un mínimo en el punto $m(x_i, f(x_i))\,$ .
Si $f''(x_i) = 0\,$ , debemos sustituir $x_i\,$ en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que $x_i\,$ no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

Si el orden de la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si $f^n\,(x_i) < 0\,$ y un mínimo si $f^n\,(x_i) > 0\,$
Si el orden de la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.