MATEMATICAS I : 5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

Unidad V. Aplicaciones de la derivada.
5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

Maximización de funciones de ingreso

La maximización de utilidades es la piedra angular del análisis económico y es crucial para la operación de cualquier negocio hoy en día. El problema principal es calcular la cantidad correcta de bienes para producir al precio adecuado dadas ciertas condiciones en el mercado. La técnica de optimización del cálculo permite hacer lo anterior de manera muy sencilla.

Instrucciones

Define la función de la utilidad

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Escribe la función de la utilidad y la restricción presupuestaria. La función de utilidad, U(x,y) es una función con respecto a dos bienes, 'x' y 'y'. El propósito de la maximización de utilidades es calcular cuánto de cada uno de estos bienes debe comprarse.
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Escribe la restricción presupuestaria. Esta es la cantidad que costará comprar 'x' y 'y', por lo que depende de los precios Px y Py. Una restricción presupuestaria típica se verá como Px * x + Py * y ≤ I, en donde I son tus ingresos. En otras palabras, la restricción presupuestaria es el precio de 'x' veces la cantidad de 'x' sumado al precio de 'y' veces la cantidad de 'y', que no puede ser mayor a tus ingresos totales.

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Combina las dos ecuaciones para formar la expresión de Lagrange, que puede ser escrita como L = U(x,y) + λ[I - Px*x - Py*y], en donde λ es llamado el multiplicador de Lagrange. Todos los pasos del cálculo serán realizados en la función de Lagrange.

Obtener las derivadas

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Obtén las derivadas de la función de Lagrange con respecto a 'x' e iguala la ecuación resultante a 0. Esto dará como resultado dL/dx = MUx - λ * Px = 0. En este caso MUx es la "utilidad marginal con respecto a 'x'", que es lo mismo que la derivada de U(x,y) con respecto a 'x'.
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Obtén la derivada de la función de Lagrange con respecto a 'y' e iguala la ecuación resultante a 0. Esto te dará como resultado dL/dy = MUy - λ * Py = 0. En este caso MUy es la "utilidad marginal con respecto a 'y'", que es lo mismo que la derivada de U(x,y) con respecto a 'y'.
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Obtén la derivada de la función de Lagrange con respecto a λ e iguala la ecuación resultante a 0. Esto dará como resultado I - Px * x - Py * y = 0, que es justamente la restricción presupuestaria.

Resuelve el sistema de ecuaciones

1

Resuelve para 'x' como función de 'y'. Esto puede lograrse escribiendo MUx = λ * Px y MUy = λ * Py, que puede derivarse fácilmente de la parte anterior. Dividiendo y cancelando las λs obtienes como resultado MUx/MUy = Px/Py. El valor del lado izquierdo es la tasa marginal de sustitución, y el valor del lado derecho es la pendiente de la curva de indiferencia. Dependiendo de la función de utilidad particular dada en este problema, usa estos valores para escribir x = f(x).
2

Sustituye x = f(y) en la restricción presupuestaria. Esto dará como resultado I - Px * f(y) - Py * y = 0. Dado que esta es una ecuación solamente en 'y', resuelve para 'y'.
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Finalmente resuelve para 'x' usando el valor de 'y' que calculaste. Esto te da la ecuación I - Px * x - Py * y. Dado que Px, Py, y 'y' son valores conocidos, resuelve para 'x'. Los valores de 'x' y 'y' que has calculado son los valores maximizados de utilidad para los dos bienes.

Utilidad y beneficios

El beneficio económico (también denominado utilidades) es un término utilizado para designar la ganancia que se obtiene de un proceso o actividad económica. Es más bien impreciso, dado que incluye el resultado positivo de esas actividades medido tanto en forma material o "real" como monetaria o nominal. (Ver más abajo). Consecuentemente, algunos diferencian entre beneficios y ganancia.

Desde un punto de vista general el beneficio económico es un indicador de la creación de riqueza o generación de mercaderías o valor en la economía de una nación. Eso no es siempre el caso para los individuos (ver más abajo).

El beneficio generalmente se calcula como los ingresos totales menos los costes totales de producción y distribución.

Minimización de funciones de costos y costos promedio.